Нелинейное сообщество Россиии

новости

“Безусловно, уже тысячи лет назад люди осознавали, что маленькие причины могут иметь большие следствия и что будущее предсказать трудно. Что является относительно новым, так это демонстрация того, что ... небольшие изменения начальных условий обычно приводят к предсказаниям настолько отличным, что через некоторое время само предсказание в действительности становится бесполезным” Давид Рюэль >> 2004 год в датах

студенты Саратовского гос. университета спрашивают: “Нанотехнологии. Что это и где можно научиться?” Отвечает зав. кафедрой электроники, колебаний и волн Саратовского гос. университета, член-корр. РАН, профессор Дмитрий Иванович Трубецков >>

Саратовский гос. университет: открытие новой экспериментальной специальности >>

Ростовская группа исследований в области нелинейной динамики

Состав группы
Наша группа исследований в области нелинейной динамики оформилась в начале 90-х годов прошлого века и состоит из сотрудников НИИ физики и физического факультета Ростовского государственного университета (РГУ). В настоящее время (2005г.) в нее входят:

Основная тематика группы
В круг интересов нашей группы входят разнообразные явления и динамические объекты нелинейной физики, в частности, динамический хаос, буши нормальных мод, солитоны, дискретные бризеры и т.д.
Основным направлением исследований является “Нелинейная динамика систем с дискретной симметрией”. В рамках этой тематики в работе В.П. Сахненко и Г.М. Чечина [1] было введено понятие бушей (кустов) нормальных мод. В последующих работах [2—13] эти динамические объекты нового типа были исследованы в консервативных и диссипативных системах различной физической природы и различной симметрии.
Наиболее просто к понятию бушей мод можно прийти следующим образом. Рассмотрим колебания нелинейной N-частичной гамильтоновой системы, допускающей гармоническое приближение, и введем в рамках этого приближения систему линейных нормальных мод. Возбудим в начальный момент времени некоторую нормальную моду (которую будем нызывать “корневой”) и проследим за временной эволюцией такого возбуждения. Поскольку линейные нормальные моды являются независимыми только в гармоническом приближении, возбуждение от корневой моды будет передаваться другим (но далеко не всегда — всем!) нормальным модам.
Поскольку каждой нормальной моде соответствует своя группа дискретной симметрии (определяемая набором соответствующих ей мгновенных атомных смещений), оказывается, что существуют некоторые правила отбора для передачи возбуждения от корневой моды к другим (“вторичным”) нормальным модам. В результате, возбужденными в рассматриваемой системе оказывается лишь некоторый вполне определенный набор мод, который и называется бушем мод. В случае гамильтоновой системы энергия начального возбуждения оказывается, таким образом, локализованной только в данном буше, который в динамическом смысле представляет собой некоторую редуцированную гамильтонову систему. Число мод буша (его размерность) остается неизменной во времени, а амплитуды этих мод эволюционируют в соответствии с динамическими уравнениями, которые можно получить, зная динамические уравнения исходной физической системы.
В силу вышеуказанных правил отбора, оказывается что в большинстве динамических систем с дискретной симметрией существуют буши мод малой размерности (одномерные, двумерные, трехмерные, четырехмерные и т.д.)
Существенно, что буш как геометрический объект (имеется в виду набор образующих его мод) определяется лишь его группой симметрии и не зависит от конкретных сил взаимодействия в рассматриваемой физической системе. С другой стороны, буш как динамический объект (имеется в виду система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая его динамику) существенным образом зависит от межчастичных взаимодействий в исходнолй системе.
В общем случае при построениии бушей мод используются не нормальные координаты системы, а симметрические координаты (базисные векторы неприводимых представлений группы симметрии рассматриваемой системы), поскольку вторые, в отличие от первых, не требуют знания явного вида гамильтониана, в частности, их можно ввести и для существенно нелинейных систем, когда гармоническое приближение не существует.
Для построения бушей мод в физических системах с дискретной симметрией в работах [1,2,3] (см. также [16]) были развиты специальные теоретико-групповые методы, использующие аппарат теории представлений групп симметрии.
Основные научные результаты
В работах [1,2] было введено понятие бушей мод и развиты теоретико-групповые методы их нахождения для произвольных физических систем с дискретной симметрией. Дальнейшее развитие теория бушей мод получила в работе [3], где, в частности, был сформулирован и доказан ряд теорем о структуре этих динамических объектов. В ряде последующих работ [4—9] были найдены буши мод малой размерности для различных классов физических систем. В частности, все возможные “неприводимые” буши мод и симметрийно обусловленные нелинейные нормальные моды Розенберга (которые представляют собой одномерные буши мод) для всех N-частичных систем, обладающих одной из 230 пространственных групп симметрии были найдены в работе [4]. Буши мод малой размерности для динамических систем со всеми возможными точечными группами кристаллографической симметрии были получены в работах [5, 6]. Буши колебательных мод и их устойчивость в октаэдрических структурах с потенциалом взаимодействия Леннарда-Джонса исследованы в [9]. Все возможные буши мод для фуллерена С_60 (buckyball структура) найдены в [7]. Буши мод и их устойчивость в нелинейных цепочках типа Ферми-Пасты-Улама подробно исследованы в работах [8,10,11,13].
Исследованию хаотической динамики трехмерных диссипативных систем с кристаллографической точечной симметрией посвящены работы [12, 14].
Некоторые исторические замечания
Понятие бушей мод и общие положения теории этих динамических объектов были развиты в работах В.П.Сахненко и Г.М.Чечина [1—3], которые явились естественным продолжением работ тех же авторов, посвященных исследованию полного конденсата первичных и вторичных параметров порядка в теории структурных фазовых переходов [15, 16, 17]. В дальнейшем к этому направлению исследований присоединилась исследовательская группа из Brigham Young University (BYU), руководителями которой являются профессора D.M.Hatch и H.T.Stokes. В сотрудничестве с этой группой были выполнены работы [4, 6, 7].
Недавно в зарубежной литературе появился ряд работ, выполненных независимо от нашей исследовательской группы, в которых для моноатомных цепочек типа Ферми-Пасты-Улама были обнаружены и исследованы динамические объекты, являющиеся простейшими примерами бушей колебательных мод в трансляционно инвариантных системах. К числу таких работ относятся публикации [18—22].

Список основных публикаций

  1. В.П. Сахненко, Г.М. Чечин, Симметрийные правила отбора в нелинейной динамике атомных систем, Доклады Академии Наук, т. 330, с.308—310 (1993).
  2. В.П. Сахненко, Г.М. Чечин, Кусты мод и нормальные моды для нелинейных динамических систем с дискретной симметрией, Доклады Академии Наук, т. 338, с.42—45 (1994).
  3. G.M. Chechin, V.P. Sakhnenko, Interactions between normal modes in nonlinear dynamical systems with discrete symmetry. Exact results, Physica D, v. 117, p. 43 (1998).
  4. G.M. Chechin, V.P. Sakhnenko, H.T. Stokes, A.D. Smith, D.M. Hatch, Non-linear normal modes for systems with discrete symmetry, Int. J. Non-Linear Mech. v. 35, p. 497 (2000).
  5. Т.М. Белая, С.А. Волошановский, М.Ю. Зехцер, А.В. Кукин, Г.А. Малычев, Г.М. Чечин, В.Г. Ягубянц, Кусты взаимодействующих колебательных мод для систем с кристаллографической точечной симметрией, Деп. ВИНИТИ (1995).
  6. G.M. Chechin, V.P. Sakhnenko, M. Yu. Zekhtser, H.T. Stokes, S. Carter, D.M. Hatch, Bushes of normal modes for nonlinear mechanical systems with discrete symmetry, World Wide Web Proceedings of the Third ENOC Conference, http://www.midit.dtu.dk, (2000).
  7. G.M. Chechin, O.A. Lavrova, V.P. Sakhnenko, H.T. Stokes, D.M. Hatch, New approach to nonlinear dynamics of fullerenes and fullerites, ФТТ, т. 44, N 3, с. 554—556 (2002).
  8. G.M. Chechin, N.V. Novikova, A.A. Abramenko, Bushes of vibrational modes for Fermi-Pasta-Ulam chains, Physica D, v. 166 (3—4), p. 208 (2002).
  9. G.M. Chechin, A.V. Gnezdilov, M.Yu. Zekhtser, Existence and stability of bushes of vibrational modes for octahedral mechanical systems with Lennard-Jones potential, Int. J. Non-Linear Mech. v. 38, p. 1451—1472 (2003).
  10. К.Г. Жуков, Д.С. Рябов, Г.М. Чечин, Построение бушей мод для нелинейных моноатомных цепочек, электронный журнал “Исследовано в России”, 137PDF, c. 1616—1644 (2003).
  11. К.Г. Жуков, Д.С. Рябов, Г.М. Чечин, Исследование устойчивости одномерных и двумерных колебательных мод для цепочек Ферми-Пасты-Улама, электронный журнал “Исследовано в России”, 161PDF, c. 1945—1964 (2003).
  12. G.M. Chechin, D.S. Ryabov, Three dimensional chaotic flows with discrete symmetries, Phys. Rev. E, v. 69, N 3, p. 036202 (2004).
  13. G.M. Chechin, D.S. Ryabov, K.G. Zhukov, Stability of low-dimensional bushes of vibrational modes in the Fermi-Pasta-Ulam chains, Physica D, in press
  14. А.И. Никифоров, Д.С. Рябов, Г.М. Чечин. Динамический хаос в трехмерной диссипативной системе с группой симметрии D_2. Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2005 (в печати).
  15. G.M. Chechin, T.I. Ivanova, V.P. Sakhnenko, Complete order parameter condensate of low-symmetry phases upon structural phase transition, Phys. Status Solidi (b) 152 (1989) 431—446.
  16. G.M. Chechin, Computers and group-theoretical methods for studying structural phase transition, Computers Math. Applic. 17 (1989) 255—258.
  17. G.M. Chechin, E.A. Ipatova, V.P. Sakhnenko, Peculiarities of the low-symmetry phase structure near the phase-transition point, Acta Cryst. A 49 (1993) 824—831.

  18. Работы других авторов
  19. P. Poggi and S. Ruffo, Exact solutions in the FPU oscillator chain, Physica D, v. 103, N 1—4, p. 251—272 (1997).
  20. B. Rink, Symmetric invariant manifolds in the Fermi-Pasta-Ulam lattice, Physica D, v. 175, p. 31—42 (2003).
  21. B. Rink, Geometry and dynamics in Hamiltonian lattices with application to the Fermi-Pasta-Ulam problem, Ph.D. Thesis, University of Utrecht, Utrecht, 2004.
  22. S. Shinohara, Low-dimensional solutions in the quartic Fermi-Pasta-Ulam system, J.Phys.Soc.Jpn., v. 71, N 8, p.1802-1804 (2002).
  23. S. Shinohara, Low-dimensional subsystems in anharmonic lattices, Progress of Theoretical Physics Supplement, N 150, p.423-434 (2003).





наша эмблема о проекте | карта сайта | написать нам | ©2004 Nonlinear Community of Russia
|